Työskentelyn tavoitteita on matematiikan päättöarvioinnin kriteereissä seitsemän. Työskentelyn taidot pitävät sisällään matematiikassa harjoiteltavia tieteenalalle tyypillisiä käytänteitä. Tavoitteena on oppia matemaattista ilmaisua, ongelmanratkaisua, ratkaisujen hiomista, mallintamista, soveltamista, tiedon kriittistä tarkastelua ja teknologisten sovellusten käyttöä matemaattisen työskentelyn apuna. Näiden taitojen arvioinnissa tarvitaan monia eri arviointimenetelmiä. Koe mittaa ehkä joitakin niistä, mutta lisäksi tarvitaan muitakin menetelmiä. Ryhmätyöskentely, portfolio, projektit ja tutkimustehtävät sopivat hyvin käytettäväksi juuri työskentelyn taitojen arviointiin. Oppitunnilla voidaan väitellä, kehitellä erilaisia ratkaisutapoja ongelmatehtäviin, pelata pelejä ja keskustella esimerkiksi erilaisista tyyppivirheistä, kuten yksikönmuunnosvirheet, pyöristysvirheet ja pilkkuvirheet. Lisäksi voidaan pohtia, millainen perustelu on riittävä, oivaltava, tai elegantti. Joihinkin tehtäviin vaaditaan perustelu laskemalla, joskus hyvän perustelun aloitukseksi riittää kuvasta lukeminen, piirtäminen ja jopa yksittäisillä arvoilla kokeileminen.
Arvosanaan 5 edellytetään, että oppilas osaa toimia matematiikalle tyypillisten käytänteiden mukaan, kun hän saa työskentelyynsä jatkuvaa tukea. Tällaista tukea ovat esimerkiksi opettajan ohjaavat kysymykset ja luokkakeskusteluun osallistaminen esimerkiksi ryhmätyöskentelyn tai
oppilaiden itsenäisen työskentelyn aikana. Arvosanaan 7 edellytetään, että oppilas osaa jo toimia jonkin verran matematiikalle tyypillisin työmenetelmin. Hän tunnistaa, miten toimia tutussa matemaattisessa tilanteessa. Hän osaa tehdä havaintoja ja ilmaista tekemiään toimia matematiikan kielellä useimmiten kuitenkin annettujen esimerkkien tukemana. Hän osaa myös käyttää teknologiaa apuna matematiikan opiskelussaan. Arvosanan 9 oppilas sen sijaan osaa tarttua matemaattisilla välineillä uudenlaisiin tilanteisiin ja käyttää niitä tukena perustellessaan ratkaisujaan.
Esimerkki T3 Opittujen asioiden yhteydet
Matematiikassa monet asiat liittyvät yhteen. Murtoluvut, suhteet, todennäköisyydet, prosentit, desimaaliluvut, yhdenmuotoisuus, Pythagoraan lause, trigonometriset yhtälöt, suora koordinaatistossa, kulmakerroin ja vaikkapa muutos liittyvät yhteen ja muodostavat jo suuren osan yläkoulun matematiikasta. Kun näitä opetetaan yksi aihe kerrallaan, yhteydet eivät välttämättä tule näkyviin. Tehtävät, joissa jokin asia tulee esittää erilaisina representaatioina kehittävät matemaattisten yhteyksien ymmärtämistä. Arvosanan 5 oppilaalle murtolukujen esittäminen pintamallilla tai joukkomallilla on jo osoitus yhteyden ymmärtämisestä. Murtoluvun havainnollistaminen lukusuoramallilla sen sijaan edellyttää jo murtoluvun ja desimaaliluvun välisen yhteyden ymmärtämistä. Esimerkiksi yhdistelypelikortit, joissa etsitään saman murtoluvun esityksiä desimaalilukuina, prosentteina ja pintamallilla esitettynä kehittävät yhteyksien ymmärtämistä ja antavat opettajalle tilaisuuden seurata oppilaiden matemaattisen ajattelun kehittymistä.
Esimerkki T4 Matemaattinen ilmaisu
Matemaattinen ilmaisu liittyy matematiikan kielentämiseen ja oppilaan oman matemaattisen ajattelun esille tuomiseen. Matemaattinen ilmaisu voi siis olla sanallista, kuvallista, symbolista ja toiminnallista. Tämän osoittamiseen riittää arvosanan 5 oppilaalla esimerkiksi kuvan hahmotteleminen. Joskus oppilaiden työskennellessä opettaja havaitsee heidän käyttävän myös eleitä selittäessään ajatuksiaan toisilleen. Tämä saattaakin olla ensimmäinen vaihe matemaattisessa ilmaisussa. Sitä seuraavat piirroshahmotelmat, ehkä taulukointi tai luettelon tekeminen ja lopulta symbolisessa muodossa esitetyn säännön muotoileminen. Esimerkiksi pohdittaessa väitettä ”suorakulmaisen kolmion kaikki sivut voivat olla yhtä pitkiä” oppilaat todennäköisesti muodostavat käsillään suoria kulmia, hahmottelevat kolmioita paperille ja ehkä lopulta päätyvät siihen, että kulman vastaisen sivun pituus on yhteydessä kyseisen kulman suuruuteen ja ratkaisevat väitteen. Työskentelyssä voidaan havaita erilaisia ymmärtämisen tasoja ja oppilas, joka osaa perustella päätelmänsä, edustaa kiitettävää arvosanaa.
Esimerkki T5 Ongelmanratkaisutaidot
Ongelmanratkaisun opettamisessa tehtävän jäsenteleminen auttaa erityisesti oppijoita, joilla on kielellisiä vaikeuksia. Tehtävästä voidaan poimia luvut, kerätä kaikki matemaattisesti tärkeät käsitteet ja esimerkiksi alleviivata, mitä kysytään. Kun arvioidaan ongelmatehtävän ratkaisemista, tämä vaihe voidaan katsoa jo osaksi suoritusta. Lisäksi voidaan huomioida, jos oppija on osannut hahmotella tilanteesta kuvan, nimetä muuttujia tai esimerkiksi kertoa menetelmän, jolla tehtävää lähdetään ratkaisemaan.
Eräs työtapa ongelmanratkaisun opettamiseen ovat pelit tai yhdistely- ja väittelykortit. Tällöin oppijan ei tarvitse palauttaa mieleensä menetelmiä tai osata ratkaista ongelmaa, mutta hän voi keskustellen ja kokeillen päästä suotuisaan lopputulokseen. Tällaiset työskentelymenetelmät tukevat lisäksi matematiikan käsitteellistä ymmärtämistä, sillä esimerkiksi yhdistelypelikorttien parien löytäminen edellyttää myös käänteistä päättelyä eli mistä lähtökohdista on voitu päästä tähän lopputulokseen. Myös toimintavälineet sopivat hyvin ongelmanratkaisun tueksi. Niiden avulla voidaan tuottaa ratkaisuja, jotka voidaan sitten dokumentoida esimerkiksi kuvaamalla ja liittämällä ne omaan portfolioon.
Suosituimpia ongelmanratkaisun strategioita ovat: säännönmukaisuuksien etsiminen, luettelointi, takaperin työskentely, arvaus ja sen tarkistaminen, kuvan tai kaavion piirtäminen, lausekkeen tai yhtälön muodostaminen, ongelman yksinkertaistaminen, taulukointi, mahdollisten ratkaisujen rajaaminen, looginen päättely ja likiarvoisen vastauksen hahmotteleminen. Kun oppijoilla on riittävästi kokemuksia näistä eri tavoista, he voivat valita käyttöönsä sopivan ja osoittaa sen avulla matemaattisia perustelujaan.
Esimerkki T6 Taito arvioida ja kehittää matemaattisia ratkaisuja
Kun halutaan edistää oppijoiden matemaattisten ratkaisujen kehittämisen ja arvioimisen taitoja, avuksi sopivat vertailutehtävät ja virheelliset esimerkit. Vertailutehtävissä on tyypillisesti esitetty kaksi erilaista ratkaisua. Virheellisissä esimerkeissä taas on tehty jokin virhe, joka pitää löytää ja korjata. Kummatkaan tehtävätyypit eivät edellytä oppilaalta tuottamista ja siksi ne sopivat hyvin juuri tavoitteen 6 harjoittelemiseen ja arvioimiseen. Esimerkiksi suorakulmaisen kolmion kateetti voitaisiin ratkaista Pythagoraan lauseella, trigonometriaa käyttäen ja vaikkapa mittaamalla. Oppilaiden kanssa voidaan pohtia, mikä ratkaisuista on helpoin, tyylikkäin, epätarkin tai elegantein. Lisäksi voidaan keskustella siitä, onko mahdollista tarkistaa vastaus toista menetelmää käyttäen.
Esimerkki T7 Matematiikan soveltaminen
Soveltaminen on matematiikan hyötykäyttöä ja se yhdistää eri tiedonaloja keskenään. Usein oppijoilla on arjen tuomaa kokemusta esimerkiksi taito- ja taideaineista, mutta he eivät havaitse niiden matemaattisia piirteitä. Tavoitetta 7 voidaan arvioida mihin tahansa matematiikan sisältöön liittyen. Arvosanan 5 oppilas tunnistaa matematiikan itselleen läheisistä kiinnostuksenkohteista ja osaa kuvata sitä esimerkein. Arvosanan 7 oppilas osaa formuloida havaintonsa matematiikan kielelle, kun kyse on juuri käsitellyistä sisällöistä, joista hänellä on esimerkkejä käytettävänään. Arvosanan 8 tai kiitettävän arvosanan oppilas sen sijaan tunnistaa matematiikan sekä uusissa tilanteissa, että hetkessä, jolloin asian käsittelystä on jo aikaa, sekä osaa lisäksi käyttää matemaattisia menetelmiä ratkaisun löytämiseksi. Tämän tavoitteen arvioimiseen sopivat projektit, koska niissä oppijat voivat suuntautua kiinnostuksen kohteittensa mukaan ja ne toimivat luonnostaan myös eriyttävinä.
Esimerkki T8 Tiedon analysointi ja kriittinen tarkastelu
Tiedon analysoinnin ja kriittisen tarkastelun arvioinnin tueksi sopivat avoimet tehtävät. Avoimissa tehtävissä on joko lähtökohta avoin, jolloin jokainen oppilas aloittaa esimerkiksi omista mittauksistaan tai malleistaan tai lopputulos avoin, jolloin erilaisten vastausten määrä on lähes rajaton tai jopa ääretön tai sitten ratkaisumenetelmä on avoin, jolloin samoista lähtötiedoista päädytään samaan lopputulemaan eri reittiä pitkin tai eri menetelmiä käyttäen. Tällaisia tehtäviä saa helposti muokattua esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
- Keksi annettuun vastaukseen sopiva tehtävä.
- Keksi esimerkki, jossa tämä sääntö EI toimi.
- Keksi parempi esimerkki ja perustele, miksi se on parempi.
- Mitä jos -tehtävät (esimerkiksi, mitä jos tunti olisikin 100 minuuttia)
- Käy läpi aakkoset (esimerkiksi, mitkä kirjaimet ovat suoran suhteen symmetrisiä)
- Laadi aiheesta sopiva taulukko.
- Keksi vaihtoehtoisia tapoja (esimerkiksi, millä tavoin voisit arvioida metrin matkan)
Esimerkki T9 Tieto- ja viestintäteknologian käyttö
Tieto- ja viestintäteknologian käyttö antaa matematiikan opetukseen uusia mahdollisuuksia. Asioita voidaan lähestyä tutkimalla, käsitteellistä ymmärrystä voidaan tukea havainnollistamalla, ja rutiiniluonteisia tehtäviä voidaan siirtää apuvälineiden laskettavaksi, jolloin saman asian toistoa voidaan vähentää ja jättää aikaa ajattelulle. Virtuaaliset toimintavälineet sopivat opetustuokioihin ja niitä voidaan käyttää myös oppilaiden itsenäisen työskentelyn helpottamiseksi ja esimerkiksi tukiopetuksessa. Sovelmia valittaessa, voidaan tarkastella, sopivatko ne esimerkiksi uuden aiheen aloitukseen herättämään uteliaisuutta, voidaanko niiden avulla opettaa jotain käsitettä, vahvistaa jotain osaamista, syventää tai kuroa kiinni oppimisen eroja tai arvioida oppimista. Jotkin sovelmat keräävät tietoa suorituksista ja niiden avulla opettaja voi arvioida oppimisen etenemistä, joistakin virtuaalisilla toimintavälineillä tehdyistä tehtävistä oppilaat voivat dokumentoida ratkaisujaan kuvakaappauksin.