Kuva 1. Abstraktion tie kuvaa matematiikan opettamisen eri vaiheita. Uuden asian opettelu aloitetaan oppilaan omista kokemuksista ja havainnoista, sitten siirrytään tutkimaan samaa asiaa toimintamateriaaleilla ja lopulta tukitaan samaa asiaa kuvista tai piirretään itse. Luonnollinen kieli ja matematiikan kieli symboleineen ovat läsnä jokaisessa vaiheessa. Tekemisiä sanoitetaan jatkuvasti. Kaikista toiminnoista muodostuu oppilaan mieleen muistinvaraisia kuvia. Oppilas voi lopulta yleistää abstraktion tien eri vaiheissa koettuja ja oivallettuja loogismatemaattisia kokemuksia matemaattiseksi osaamiseksi ja ymmärtämiseksi. Liikenne voi olla myös kaksisuuntaista, välillä kuljetaan abstraktista ilmaisusta kohti konkretiaa.
Oppikirja ei olekaan matematiikan opiskelussa se tärkein materiaali! Varga–Neményi opetusmenetelmässä lähtökohtana on niin kutsuttu abstraktion tie, jonka elementtejä ovat eri kielentämisen muodot eli toiminnallisuus, kuvat ja matematiikan symbolikieli, joita kaikkia sanoitetaan luonnollisen kielen avulla.
Matematiikan ensimmäisien kouluvuosien kaikki opittavat sisällöt voidaan löytää oppilaan omasta kokemusmaailmasta. Ne ovat matematiikan oppimisen lähtökohta. Monipuolisessa opetuksessa oppilaalle jää monenlaisia muistijälkiä, joiden varassa matemaattinen ajattelu, yleistäminen, opitun käyttäminen ja soveltaminen on mahdollista. Oppikirja tarjoaa enää vain uuden näkökulman, jossa on samat juuri opitut sisällöt kirjallisessa muodossa luonnollisen kielen tekstinä, kuvina ja matematiikan symbolikielellä ilmaistuna.
Kun opittava matematiikan sisältö havainnollistetaan monella eri tavalla oppilaan omasta ympäristöstä ja toimintamateriaalien avulla, on ymmärtämisen paikkoja useampia ja käsitteistä tulee oppilaan mielessä laaja-alaisempia ja vankempia. Uusi asia opitaan ensin monenlaisilla toiminnoilla, välineillä ja piirroksilla, ennen kuin oppikirja ylipäätään otetaan esille. Työskenneltäessä välineillä ja kuvien parissa oppilailla on parhaassa tapauksessa riittävästi aikaa ja mahdollisuuksia ymmärtää ja sisäistää opittavaa asiaa. Monta kertaa oivallus tapahtuukin ensin ”sormenpäissä” ja vasta sen jälkeen oppilas sanoittaa sitä, mitä hän on oivaltamassa.
Varga–Neményi -menetelmässä tunnit rakennetaan siten, että ne sisältävät paljon toimintaa, yhdessä tekemistä, leikkimistä ja pelaamista, tekemisten sanoittamista ääneen ja keskustelua. Tehtäviin saatetaan hakea useita erilaisia ratkaisutapoja, jolloin etenkin suullinen, mutta myöhemmin myös kirjallinen ilmaisu, kuvat ja matematiikan symbolikieli ovat keskeisiä. Oppilaita ohjataan ja rohkaistaan ilmaisemaan itseään – aluksi suullisesti ja myöhemmin myös kirjallisesti. Useisiin erilaisiin ratkaisutapoihin tutustuminen lisää oppilaiden matemaattisen ajattelun joustavuutta ja osaamisen strategista taitoa, koska heillä on mahdollisuus ymmärtää ja valita itselleen sopivimmat toimintatavat.
Virheiden tekeminen on välttämätöntä
Varga–Neményi -menetelmään kuuluu virheiden tekeminen. Opettaja tekee sekä suunniteltuja että suunnittelemattomia virheitä, jolloin oppilaat saavat tästä mallia ja rohkaistuvat omien ajatuskulkujensa ilmaisemisessa. Ilman virheitä ei ole todellista oppimista. Oppitunneille luodaan turvallinen ilmapiiri, jossa kaikenlainen kokeileminen ja ensimmäistenkin aavistusten tuominen yhteiseen pohdintaan on sallittua ja toivottua. Virheet ovat tärkeä osa matematiikan opiskelua, ilman niitä matematiikan proseduraalisesta ja konseptuaalisesta tiedosta ei tule oppilaan mielessä tarpeeksi kestävää ja laaja-alaista.
Opettajajohtoista, mutta oppilaskeskeistä
Varga–Neményi -menetelmässä tunnit ovat yhtä aikaa sekä opettajajohtoisia että oppilaskeskeisiä, koska opettaja ohjaa tunnin kulkua ja varmistaa, että oppilailla on käytössä kulloinkin tarvittavat välineet. Lähtökohtana on tavallisesti joku kyseiseen teemaan johdatteleva ongelma, jota oppilaat saavat ratkaista yhdessä. Opettaja mahdollistaa oppilaiden oman oivaltamisen antamalla heille heitä kiinnostavia tehtäviä. Keskustelun aikana opettaja kysyy monia sellaisiakin kysymyksiä, joihin on olemassa monenlaisia vastauksia tai vastaus löytyy tutkimalla toimintamateriaaleilla, tekemällä piirroksia ja niin edelleen. Pienet oppilaat saavat usein osallistua ohjattuun pedagogiseen leikkiin, joka havainnollistaa uutta asiaa. Oppilaat pääsevät itse kokeilemaan ja tutkimaan opittavaa matematiikan sisältöä monipuolisilla toimintavälineillä, kuvilla tai itse tekemillään piirroksilla.
Monenlaisia kieliä
Matematiikan oppimisen polulla oppilaalla on opittavanaan monta eri kielivarianttia. Opettajan on oltava tästä kielten moninaisuudesta tietoinen, koska kaikki erilaiset käytetyt kielet oppilaan käyttämästä puhekielestä alkaen aina matematiikan selostavaan ja symbolikieleen saakka täytyy sillata toisiinsa. Työtä riittää. Oppiminen edellyttää asioiden tutkimista siten, että oppilailla on mahdollisuus ymmärtää ja sanoittaa opiskelemaansa asiaa – ei ainoastaan osata ulkoa, toistaa ja tietää – käyttää kieltä, jota he eivät ymmärrä. Tietäminenkään ei vielä tarkoita ymmärtämistä, joka on puolestaan ainoa keino matemaattisen tiedon soveltamisessa ja uusien ongelmien ratkomisessa matematiikan keinoin.
Kieli on ajattelua ja ajattelu on kieltä, mutta ilman konkreettisia kokemuksia ja merkityksiä kielen sanoilla ei ole sisältöä eikä niiden avulla ole siten mahdollista ymmärtää. Oppilailta ei voi vaatia enempää kuin mihin heidän kielelliset valmiutensa ja kielitaito kulloinkin antavat myöten. Itse tekeminen ja kokeileminen sekä sen sanoittaminen ovat siksi ensisijaisia ja ajattelun kehittymisen lähtökohta – etenkin matematiikan opiskelussa.
Opetuksessa oppilaita rohkaistaan ilmaisemaan itseään suullisesti. Kielimallia saadaan sekä opettajalta että toisilta oppilailta. Kieltä rikastetaan sanoittamalla yhdessä juuri koettua ja tehtyä ensin puhekielen avulla. Matematiikan täsmällinen ilmaisu saa vielä odottaa, varsinkin jos kyse on pienistä oppilaista tai oppilaista, joilla on vielä orastava suomen kielen taito. Matematiikalle tyypilliseen tiiviiseen ilmaisuun ei tarvitse oppia heti, vaan kieli on ensin enemmän suullista selittävää puhekieltä, helpompia ilmaisuja, joiden rinnalle tuodaan vähitellen kirjoitettu luonnollinen kieli sekä matematiikan täsmällinen symbolikieli ja määritelmät. Opetuksessa edetään tätä kohti pienin askelin kuljettamalla eri kielivariantteja myös rinnakkain.
Ylemmilläkään vuosiluokilla uuden asian opiskelua ei aloiteta lukemalla, kuuntelemalla tai tarkastelemalla oppikirjan kuvia ja opettelemalla joukko termejä, vaan oppilaan omien tekemisten ja kokemusten kautta. Jos pitää valita, opetuksessa mennään kokemus edellä niin kauan kuin se on tarpeellista eli valitaan konkretisoimisen ja kokemuksen tie, kirjalliset tekstit ja tehtävät eivät voi näitä korvata.
Kun oppilaat keskustelevat matematiikan tunneilla, alkavat ensin passiivisessa sanavarastossa olevat ilmaisut siirtyä vähitellen aktiiviseen käyttöön. Mutta yhä vielä on pidettävä mielessä unkarilainen pedagoginen viisaus: ”antaa lapsen syntyä ennen nimen antamista”. Matematiikkaa sisältävä kieli tarvitsee paljon tekemisten sanoittamista ja aikaa kehittyäkseen.
Tämä on haaste myös sellaiselle opettajalle, joka ei ole tottunut itse keskustelemaan matematiikasta. Opettajan kielen pitäisi olla helposti ymmärrettävää ja matemaattisesti oikein. Erilaisten kielivarianttien pitäisi sopivasti limittyä toisiinsa. Tässä on opettajalle haastetta, mutta pienin askelin edetessä myös opettajan matematiikan puhumisen ja käyttämisen taidot kehittyvät.
Oppikirjan rooli opetuksessa
Oppikirja otetaan Varga–Neményi -menetelmän mukaan opiskeltaessa esille alkuopetuksessa siinä vaiheessa, kun oppilaat ovat vähintään joko tutustuneet asiaan tai parhaassa tapauksessa jo oikeastaan oivaltaneet uuden asian monien kokemusten kautta. Oppikirjasta tehdään muutamia tehtäviä eikä edetä aukeamittain. Aikaa oppikirjan tehtäviin käytetään tunnista vain pieni osa. Kun oppilaat saavat uudenlaisen tehtävätyypin, tutustutaan siihen rauhassa ja opitaan kirjallisten tehtävien ratkaisemista. Kun vastaavia tehtäviä tehdään myöhemmin, oppilaat osaavat ja tietävät, miten esimerkiksi kirjoitetaan lausekkeita, täydennetään taulukoita, piirretään diagrammeja ja niin edelleen.
Ylemmillä vuosiluokilla Varga–Neményi -menetelmän mukaisessa oppimateriaalissa kokemuksellisia ja konkretisoivia tehtäviä on enenevissä määrin mukana jo oppikirjassa, koska oppilaat osaavat jo lukea ja ymmärtää kirjallisia ohjeita itsekin. Parhaassa tapauksessa opettajan tehtäväksi jää jo enemmän vain sopivien konkretisointi- ja toimintavälineiden tuominen luokkaan, ratkaisuprosessin tukeminen ja tehtyjen tehtävien yhteisestä koonnista huolehtiminen. Kirjasta tehdään yleensä oppitunnin aikana edelleen vain muutama tehtävä kerrallaan. Kaikkia aihepiirin tehtäviä ei ehditä tehdä, vaan opettaja tai oppilas valikoi sopivimmat tehtävät.
Oppikirjalla on oma tärkeä roolinsa, vaikka opetus etenisikin monipuolisin harjoittein ja toiminnoin. Hyvä oppikirja sisältää kielimalleja ja sanoittaa matematiikan käsitteitä tarpeeksi rikkaalla tavalla. Matematiikan kieli on ylemmillä luokilla lopulta tiivistä ja täsmällistä. Mutta ennen tätä oppilaita voidaan auttaa yksinkertaisempien ja arkisempaa kieltä käyttävien ilmausten avulla ymmärtämään myös kirjoitettuja matematiikkaa sisältäviä kertomus- ja tietotekstejä.
Varga–Neményi -menetelmän mukaisissa oppikirjoissa kaikki kuvat liittyvät jollakin tavalla itse matematiikkaan, niitä ei ole siellä viihdykkeenä. Kirjoissa on matematiikkaa sisältäviä kertomustekstejä jo jonkin verran alkuopetuksen aikana, mutta etenkin kolmannelta luokalta lähtien. Niiden sisältö kertoo oppilaalle tutuista asioista, joista hän on voinut saada kokemusta ennen tekstin lukemista. Kirjoitetun tekstin ja sitä tukevien kuvien merkitys kasvaa ylemmille luokille siirryttäessä. Tällöin matematiikan kirjasta voidaan antaa myös lukuläksyä, jolloin oppilas kertaa sitä, miten matematiikan asioita sanoitetaan.
Oppikirjoissa on myös tietotekstejä. Niihin tutustutaan ja niitä luetaan vasta siinä vaiheessa, kun oppilaat ovat saaneet kokemusta ja ymmärrystä kyseisestä aiheesta. Kirjoitetun tekstin aika on siis ihan viimeisenä. Näin siksi, koska ilman kokemusta ei tekstin ymmärtäminen ole mahdollista.
Oppikirjassa on myös laskurutiineja vakiinnuttavia tehtäviä. Haasteena on yleensä se, että eritasoiset oppilaat tarvitsisivat erilaisia laskutehtäviä. Kirjan tehtävät ovat osalle oppilaista liian vaikeita ja osalle liian helppoja. Laskurutiinia olisikin oppimisen kannalta parempi harjoitella sellaisissa oppimisympäristöissä, joissa tehtävät voidaan räätälöidä osaamistason mukaisesti. Tässä digitaaliset oppimisympäristöt saattavat toimia oppikirjaa paremmin. Laskurutiinin harjoitteleminen on oppilaista mieluisampaa, jos harjoittelua pelillistetään. Tällöin monet yksinkertaiset noppapelit riittävät hyvin ja innostavat oppilaita harjoitteluun.
Matematiikan taitojen oppiminen vaatii aikaa ja monipuolista harjoittelua
Koulumatematiikassa on sellaisia sisältöjä, joiden sujuva osaaminen ei käy kädenkäänteessä. Oppilailla on suuria eroja siinä, kuinka he osaavat ja oppivat lukujen käsittelyä ja laskemista. Tästä esimerkiksi käyvät hyvin yhteen- ja vähennyslaskun laskustrategiat tai kertotaulujen oppiminen. Lähes kaikkien oppilaiden taidot kehittyvät riittävän sujuviksi, kun niitä saa harjoitella riittävästi. Yhteiset toiminnalliset matematiikkaa sisältävät harjoitteet, kuten monet noppapelit tai liikunnalliset leikit, opettavat uusia taitoja kuin huomaamatta. Vaihteleva harjoittelu pitää mielenkiintoa ja jaksamista yllä.
Tällaisten keskeisimpien taitojen oppimisesta käy hyvin esimerkiksi ensimmäisellä luokalla lukujen 2–10 hajotelmien oppiminen ja automatisoitunut hallinta monien leikkien ja pelien avulla. Hajotelmia tarvitaan yhteen- ja vähennyslaskutaidon oppimisessa, jolloin päästään irti yksitellen lukujen luettelun strategiasta. Luettelemisstrategia on yksi lukukäsitteen ja laskutaidon kehittymisen vaiheista, mutta siitä on päästävä eteenpäin, koska tämä laskutapa on varsin työläs ja virhealtis. Hajotelmaleikkejä ja -toimintoja tehdään ensin yhdessä monella tavalla, jolloin oppilaat saavat aikaa hioa uuden taidon osaamista ennen kirjan tehtäviä.
Tai esimerkiksi toisella ja kolmannella luokalla harjoitellaan paljon monikertoja lukualueella 0–100, jotta kerto- ja jakolaskut alkaisivat sujua hyvin. Monikertoja harjoitellaan pitkin lukuvuotta monella eri tavalla leikkien ja pelaten, koska monikertojen sujuva hallitseminen kehittyy hitaasti etenkin niillä oppilailla, joiden lukujenkäsittelytaidossa on puutteita. Kun monikerrat jo osataan, ei kertotaulujen oppiminen ole enää niin työlästä.
Oppimisen esteitä
Osalla maahanmuuttajaoppilaista on kielen oppimisen lisäksi matematiikan oppimisvaikeuksia tai muita oppimisen ja opiskelun vaikeuksia. Samanlaisia vaikeuksia voi olla myös muilla oppilailla. Nämä kaikki oppimista vaikeuttavat seikat vaikuttavat suoraan myös siihen, miten oppilaita voidaan opettaa niin, että vaikeudet voidaan voittaa ainakin osittain. Opettajan työssä ei ole niin tärkeää tietää täsmälleen, mistä mikin vaikeus johtuu, tärkeämpää on tietää, miten opetus voidaan toteuttaa niin, että mahdollisimman moni oppilas saa itselleen sopivinta opetusta. Oppilaiden erityispiirteet on hyvä ottaa huomioon, olivatpa ne tai niitä selittävät syyt mitä tahansa.
Osa oppilaista ei ole kotona piirtänyt juuri lainkaan tai saanut vanhemmiltaan tukea kokemusten ja havaintojen sanoittamiseen. Osalla oppilaista ei ole ollut kotona mahdollisuutta esimerkiksi pelata erilaisia sääntöpelejä, rakennella tai koota palapelejä. Osassa perheistä lukumäärien tarkastelu, laskeminen ja kaikenlainen mittaaminen saa vähän huomiota. Tällöin näiden lasten taidot eivät ole päässeet kehittymään samalla tavalla kuin niissä perheissä, joissa tällainen puuha on itsestään selvää. Koska nämä ovat matematiikan osaamisen pohjataitoja muiden esimatemaattisten taitojen ohella, täytyy koulun kantaa vastuuta tästä, jotta kaikkien oppilaiden matematiikan osaamisen saa hyvän alun. Huonoin vaihtoehto on se, ettei koulu huomaa ottaa tästä koppia, vaan matematiikan opetus noudattaa tiukasti ja kapea-alaisesti matematiikan oppikirjan rakennetta ja sisältöjä eikä mahdollista pohjataitojen hankkimista.
Eriyttäminen Varga–Neményi -menetelmässä
Opettaja oppii eriyttämään abstraktion tien mukaisessa opetuksessa vähitellen opetustaan sekä ylös- että alaspäin. Kun oppitunteja ei rakenneta niinkään kirjallisen työskentelyn varaan, vaan yhteisen toiminnan ja kokemuksellisuuden, eriyttäminen on erilaista. Se ei ole sitä, että nopeille oppilaille annetaan lisämonisteita tai ylemmän luokan oppikirja.
Varga–Neményi -menetelmässä eriyttäminen tapahtuu alkuopetuksessa yhteisen työskentelyn lomassa, hitaampi oppilas ehtii vähemmän ja nopealle oppilaalle voidaan antaa uusi ja vähän haastavampi tehtävä samassa teemassa pysyen esimerkiksi toimintamateriaalityöskentelyn aikana. Ylemmillä luokilla eriyttäviä tehtäviä voidaan antaa enemmän oppikirjoissa, koska oppilaiden ymmärtävä lukutaito on jo kehittyneempää.
Parhaimmillaan eriyttävät tehtävät ovat sellaisia, joita kaikkikin oppilaat saattavat suotuisissa oloissa kiinnostua ratkaisemaan. Ne on laadittu siten, että edellä olevat tehtävät antavat ratkaisuun tarvittavia työkaluja. Oppilas saattaakin todeta, että aluksi tehtävä tuntui aika vaikealta, mutta ”kun siihen vähän perehdyin, osasinkin sen tehdä”. Tämä on Varga–Neményi -menetelmässä tehtäviin sisäänrakennettu ominaisuus eikä sattumaa. Tällöin saadaan matematiikan käsiteverkkoon enemmän mahdollisuuksia yhdistää eri sisältöjä toisiinsa. Eriyttävät tehtävät eivät siis ole mitään irrallisia älypähkinöitä, joiden parissa nopeimmat oppilaat saadaan työllistettyä, kun muut vielä oppivat perusasioita.
